La Congettura di Milani: una nuova proprietà asintotica delle partizioni di Goldbach legata al rapporto aureo
La Congettura di Milani: una nuova relazione matematica tra i numeri primi, il problema di Goldbach e il rapporto aureo.
11 novembre 2026, di Mostafa Milani Amin
La Congettura di Milani afferma che, per ogni numero pari sufficientemente grande, esiste una coppia di numeri primi la cui somma è quel numero e il cui rapporto si avvicina al rapporto aureo, con uno scarto minimo che tende a zero al crescere indefinito del numero pari.
Dopo un lungo lavoro di ricerca, analisi matematica e verifiche computazionali, ho formulato e pubblicato la Congettura di Milani: un nuovo enunciato nella teoria dei numeri che mette in relazione il problema di Goldbach con il rapporto aureo.
La ricerca affronta una questione precisa: fra tutte le possibili rappresentazioni di un numero pari come somma di due numeri primi, quale presenta il rapporto più vicino alla proporzione aurea? E come si comporta questo rapporto quando il numero pari cresce indefinitamente?
La risposta è al centro della nuova congettura: lo scarto minimo dal rapporto aureo tende a zero lungo tutti gli interi pari sufficientemente grandi.
Non si tratta semplicemente di individuare alcune coppie di numeri primi con rapporti vicini a una costante celebre. Si tratta di studiare una proprietà asintotica delle partizioni di Goldbach, formulata in modo da riguardare ogni numero pari sufficientemente grande.
1. La formulazione matematica
Il rapporto aureo, indicato con φ, è definito da φ = (1 + √5)/2 e vale approssimativamente 1,6180339887.
Per ogni intero pari N maggiore di 2, consideriamo tutte le coppie di numeri primi p e q tali che p ≤ q e p + q = N.
Fra queste coppie individuiamo quella per cui il rapporto q/p presenta lo scarto minore rispetto a φ. Indichiamo tale scarto minimo con Δ(N) = min |q/p − φ|, considerando tutte le partizioni di Goldbach di N.
Se un numero pari fosse privo di partizioni di Goldbach, poniamo per convenzione Δ(N) = +∞.
La Congettura di Milani afferma: lim Δ(N) = 0, quando N tende all’infinito attraverso gli interi pari.
In termini equivalenti: per ogni ε positivo, esiste una soglia Nε tale che, per ogni numero pari N maggiore di Nε, esistono due numeri primi p e q, con p + q = N, per i quali |q/p − φ| < ε.
In particolare, la congettura implicherebbe anche che ogni numero pari sufficientemente grande ammetta una partizione di Goldbach. Non si limita quindi a descrivere il rapporto fra gli addendi: afferma una proprietà più forte della stessa esistenza delle partizioni.
Il significato dell’enunciato è fondamentale: l’avvicinamento al rapporto aureo non deve verificarsi soltanto per una successione particolare di numeri pari, ma per tutti gli interi pari sufficientemente grandi.
È questa la proprietà asintotica specifica introdotta dalla Congettura di Milani.
2. L’unicità della coppia più vicina
La formulazione presenta una proprietà matematica importante: quando esistono partizioni di Goldbach, la coppia che realizza lo scarto minimo è unica.
La dimostrazione deriva dall’irrazionalità di φ. I rapporti fra numeri primi sono razionali. Se due rapporti razionali distinti avessero uguale distanza da φ, il loro punto medio coinciderebbe con φ. Ma il punto medio di due numeri razionali è razionale, mentre φ è irrazionale: si arriverebbe quindi a una contraddizione.
Inoltre, adottando la convenzione p ≤ q, ogni rapporto individua una sola coppia.
La coppia più vicina al rapporto aureo è dunque univocamente determinata: non occorre introdurre alcun criterio supplementare per sceglierla.
3. La conseguenza: la ripartizione aurea degli addendi
Dalla Congettura di Milani discende una conseguenza di particolare interesse.
Indicando con (pN, qN) la coppia che realizza lo scarto minimo, se la congettura è vera, il rapporto qN/pN tende a φ.
Poiché pN + qN = N, ne segue matematicamente che pN/N tende a 1/φ² = (3 − √5)/2 ≈ 0,381966, mentre qN/N tende a 1/φ = (√5 − 1)/2 ≈ 0,618034.
In termini percentuali, i due addendi tenderebbero quindi a rappresentare rispettivamente il 38,1966% e il 61,8034% della somma.
La conseguenza è notevole: la partizione di Goldbach più vicina al rapporto aureo tenderebbe a dividere il numero pari secondo la proporzione aurea.
Non si tratta di una seconda congettura, ma di una conseguenza matematica diretta dell’enunciato principale.
4. Un risultato parziale già dimostrabile
La ricerca si collega a un risultato di David Hobby e D. M. Silberger, pubblicato nel 1993 nell’articolo “Quotients of Primes”, secondo cui l’insieme dei rapporti fra numeri primi è denso nei reali positivi.
Applicando questo teorema al rapporto aureo, si possono individuare coppie di primi il cui rapporto si avvicina a φ quanto si desidera. Le somme di tali coppie generano una successione non limitata di numeri pari.
Poiché lo scarto minimo per ciascuna somma non può essere maggiore dello scarto della coppia individuata, si ricava il risultato: lim inf Δ(N) = 0, lungo gli interi pari.
Questo è un risultato matematico effettivo, derivato da un teorema precedente. La distinzione è che la densità dei quozienti di primi garantisce l’avvicinamento lungo una successione di somme, mentre la Congettura di Milani riguarda tutti gli interi pari sufficientemente grandi.
Il passaggio ulteriore è precisamente il contenuto dell’enunciato introdotto in questo lavoro.
5. La motivazione teorica
La congettura trova una motivazione euristica anche nel quadro teorico di Hardy e Littlewood sulle rappresentazioni degli interi come somme di numeri primi.
Le loro considerazioni suggeriscono che, per numeri pari grandi, il numero delle partizioni di Goldbach con un addendo appartenente a un intervallo proporzionale fissato rispetto a N sia dell’ordine di N/log²N, con gli opportuni fattori aritmetici.
La posizione corrispondente alla proporzione aurea, p/N ≈ 0,381966, si trova all’interno dell’intervallo possibile (0, 1/2).
Il modello teorico suggerisce quindi che, in un intorno proporzionale di questa posizione, possano trovarsi numerose partizioni di Goldbach al crescere di N.
Questa osservazione offre una motivazione matematica alla congettura. Non sostituisce, tuttavia, la dimostrazione generale: una previsione sul comportamento delle rappresentazioni non garantisce da sola l’esistenza di una coppia adeguata per ogni singolo numero pari.
6. Le verifiche computazionali
La formulazione è accompagnata da enumerazioni esaustive delle partizioni di Goldbach per diversi valori di N. Per ciascun numero sono state considerate tutte le coppie di primi p ≤ q con p + q = N, individuando quella con lo scarto minimo dal rapporto aureo.
I risultati sono riportati di seguito, con ogni riga della tabella espressa in forma lineare per facilitarne la lettura e la condivisione.
N = 100 — 6 partizioni — coppia più vicina: 41 + 59 — scarto: 0,179009598506.
N = 1.000 — 28 partizioni — coppia più vicina: 383 + 617 — scarto: 0,007067931309.
N = 10.000 — 127 partizioni — coppia più vicina: 3.803 + 6.197 — scarto: 0,011469035179.
N = 100.000 — 810 partizioni — coppia più vicina: 38.219 + 61.781 — scarto: 0,001534341977.
N = 1.000.000 — 5.402 partizioni — coppia più vicina: 381.917 + 618.083 — scarto: 0,000335971215.
N = 444.666.888 — 1.696.153 partizioni — coppia più vicina: 169.847.521 + 274.819.367 — scarto: 0,000001796418.
Gli scarti non diminuiscono necessariamente a ogni passaggio: la congettura riguarda il comportamento asintotico, non una diminuzione monotona per ogni valore di N.
Particolarmente significativo è il caso N = 444.666.888. Sono state esaminate tutte le 1.696.153 partizioni di Goldbach. L’enumerazione è stata verificata indipendentemente mediante un setaccio di Eratostene completo fino a N.
La coppia che realizza lo scarto minimo è: 169.847.521 + 274.819.367 = 444.666.888.
Il rapporto fra i due addendi è circa 1,6180357851675680, con uno scarto dal rapporto aureo di circa 0,0000017964176732.
Il confronto numerico è stato inoltre certificato mediante un intervallo razionale di 100 cifre per √5, così da evitare che l’individuazione del minimo dipendesse da semplici arrotondamenti.
Queste verifiche documentano in modo esaustivo i casi esaminati e costituiscono riscontri computazionali della ricerca.
7. Il rapporto con gli studi precedenti
Il collegamento fra numeri primi, Goldbach e rapporto aureo è già comparso nella letteratura matematica.
Nel 2018 Kenneth J. Prevot ha esaminato una regola basata sul rapporto aureo nel lavoro “A Compendium of Unlikely Parameterizations for Prime Pairs Related to the Goldbach Conjecture”, nella sezione intitolata “A Golden Ratio Non-Rule”.
La questione affrontata dalla Congettura di Milani è tuttavia specifica e distinta: non richiede un rapporto esatto o costante fra due primi, ma studia, per ogni numero pari, il minimo scarto dal rapporto aureo fra tutte le sue partizioni di Goldbach.
Anche la successione OEIS A108539 riguarda rapporti fra primi vicini a φ, ma non impone che la loro somma sia uno specifico intero pari.
Il lavoro di Ljuben Mutafchiev del 2015, “A Note on Goldbach Partitions of Large Even Integers”, studia invece il comportamento complessivo delle partizioni di Goldbach e una distribuzione limite associata alla scelta di una partizione. Non stabilisce la convergenza del rapporto più vicino a φ per ciascun numero pari.
Alla luce della ricerca bibliografica effettuata, non è stato individuato un enunciato identico a quello qui formulato. La Congettura di Milani presenta quindi una formulazione specifica e autonoma, distinta dai risultati precedenti qui esaminati.
8. Una nuova prospettiva sul problema di Goldbach
La Congettura di Milani introduce un nuovo oggetto di studio nella teoria delle partizioni di Goldbach: la funzione Δ(N), che misura, per ogni numero pari, la distanza minima fra il rapporto dei due addendi e il rapporto aureo.
Il lavoro sviluppa tre livelli matematici distinti:
l’unicità della coppia che realizza lo scarto minimo, dimostrata direttamente;
l’annullamento del limite inferiore dello scarto lungo gli interi pari, conseguenza del teorema di Hobby e Silberger;
la convergenza dello scarto a zero per tutti gli interi pari sufficientemente grandi, che costituisce l’enunciato centrale della nuova congettura.
La portata della ricerca risiede proprio in quest’ultimo passaggio. La questione non è soltanto se esistano coppie di numeri primi con rapporti vicini alla proporzione aurea, ma se tale avvicinamento costituisca una regolarità asintotica delle partizioni di Goldbach.
Se la congettura sarà dimostrata, si stabilirà una relazione universale fra la struttura additiva dei numeri primi e la proporzione aurea, con la conseguente ripartizione asintotica degli addendi nel rapporto 38,2%–61,8%.
Si tratta di una nuova questione matematica, formulata in modo preciso e collegata a risultati noti, che apre un ulteriore ambito di indagine nello studio del problema di Goldbach.
La pubblicazione
Ho raccolto i risultati della ricerca nella nota matematica “La Congettura di Milani: una proprietà asintotica delle partizioni di Goldbach legata al rapporto aureo”.
Il lavoro è stato pubblicato e reso accessibile su Zenodo l’11 novembre 2026, con registrazione permanente e identificativo DOI.
Autore: Mostafa Milani Amin.
Data: 11 novembre 2026.
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.24133468
Pubblicazione integrale: https://zenodo.org/records/24133468
La pubblicazione rende il lavoro identificabile, consultabile e citabile a livello internazionale.
La Congettura di Milani è il risultato di un lungo percorso di ricerca: una nuova formulazione matematica che prende le mosse dal problema di Goldbach e individua nel rapporto aureo il riferimento per studiare il comportamento asintotico delle sue partizioni.
Una nuova congettura, un nuovo enunciato e una nuova questione per la teoria dei numeri.
Mostafa Milani Amin