Il limite matematico e la realtà dell’infinito
Un’indagine tra analisi matematica e metafisica secondo il realismo di Tabatabai
12 ottobre 2026, di Mostafa Milani Amin
Un percorso tra rigore matematico e realismo metafisico, dal concetto di limite alla riflessione sull’infinito, fino alla ricerca della Realtà assoluta nel pensiero di Tabatabai e nella prospettiva del monoteismo islamico.
Il concetto di limite occupa una posizione fondamentale nell’analisi matematica. Attraverso di esso è possibile descrivere con precisione processi di convergenza, avvicinamento e crescita illimitata, affrontando rigorosamente fenomeni che coinvolgono l’infinito. Ma quale rapporto esiste tra l’infinito matematico e l’infinito ontologico? Il fatto che la matematica possa formulare proposizioni rigorose sull’infinito autorizza a riconoscergli una realtà indipendente dal pensiero, oppure dimostra soltanto la coerenza delle strutture matematiche? Per affrontare la questione occorre distinguere il piano matematico da quello metafisico, senza confonderli né considerarli necessariamente estranei.
Dire che una funzione f(x), definita per valori sufficientemente grandi di x, tende a un numero reale L per x → +∞ significa che, per ogni ε > 0, esiste un numero reale M tale che, per ogni x > M, si abbia |f(x) − L| < ε. In altri termini, per quanto piccola sia la distanza richiesta da L, esiste una soglia oltre la quale tutti i valori della funzione rimangono entro quella distanza. Se un limite finito esiste, è unico: una stessa funzione, nello stesso processo di avvicinamento, non può tendere a due numeri reali distinti. L’unicità, tuttavia, non garantisce l’esistenza, che deve essere dimostrata separatamente. Per esempio, quando x → +∞, la funzione x/(x + 1) tende a 1, mentre x² tende a +∞. Quest’ultima espressione non indica che la funzione converga a un numero reale chiamato infinito, ma che, per ogni soglia reale prefissata, i suoi valori la superano quando x è sufficientemente grande. L’infinito, in questo caso, esprime una crescita illimitata definita attraverso una condizione matematica precisa.
Il rigore dell’analisi dipende anche dalla struttura dei numeri reali. La loro completezza garantisce che ogni insieme non vuoto di numeri reali dotato di un maggiorante possieda un estremo superiore appartenente a ℝ. Questa proprietà è fondamentale per numerosi risultati di convergenza. Il teorema di Bolzano-Weierstrass stabilisce, per esempio, che ogni successione reale limitata possiede una sottosuccessione convergente. Non afferma che ogni successione limitata converga, ma che è sempre possibile estrarne una sottosuccessione che converge a un numero reale. La presenza di infiniti termini, quindi, non basta a garantire la convergenza: occorrono ipotesi precise e dimostrazioni rigorose.
Lo stesso rigore si applica alle serie numeriche. Una serie è definita attraverso la successione delle sue somme parziali: converge quando tale successione converge a un limite finito. Per una serie convergente è necessario che il termine generale tenda a zero, ma questa condizione non è sufficiente. La serie armonica, ∑ₙ₌₁^∞ 1/n, ne è un esempio classico: i suoi termini tendono a zero, ma le somme parziali crescono senza limite. È il comportamento complessivo delle somme parziali, dunque, a determinare la convergenza.
Il limite è altrettanto decisivo nel calcolo differenziale e integrale. La derivata di una funzione in un punto a, quando esiste, è definita come il limite del rapporto incrementale [f(a + h) − f(a)]/h per h → 0, con h ≠ 0. Essa descrive la variazione istantanea della funzione, distinguendosi dal rapporto incrementale calcolato su un intervallo finito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce, sotto opportune ipotesi, un legame preciso tra derivazione e integrazione. In particolare, se f è continua in un intervallo [a, b], la funzione definita da F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt è derivabile nell’intervallo interno e la sua derivata è f(x); inoltre, se G è una primitiva di f, l’integrale definito tra a e b è uguale a G(b) − G(a).
Un ulteriore esempio è il teorema del punto fisso di Banach. In uno spazio metrico completo e non vuoto, ogni applicazione contrattiva da tale spazio in sé stesso possiede un unico punto fisso; inoltre, le iterazioni dell’applicazione convergono a quel punto, qualunque sia il punto iniziale. Il teorema mostra come, date precise condizioni, si possano dimostrare insieme l’esistenza e l’unicità di un oggetto e la convergenza di un processo iterativo. Non afferma che ogni processo di questo tipo converga: il risultato vale entro le ipotesi matematiche stabilite.
La teoria degli insiemi porta lo studio dell’infinito a un livello ulteriore. Il teorema di Cantor stabilisce che, per ogni insieme A, l’insieme delle sue parti P(A) possiede una cardinalità strettamente maggiore di quella di A: |A| < |P(A)|. Il risultato vale anche per gli insiemi infiniti e implica che non esiste una cardinalità massima tra quelle degli insiemi: da ogni insieme si può infatti passare al suo insieme delle parti, che ha cardinalità maggiore. L’infinito matematico non costituisce dunque un’unica grandezza indistinta, ma comprende cardinalità differenti, confrontabili secondo definizioni e dimostrazioni precise. Si tratta di un risultato sulla struttura degli insiemi, non di una dimostrazione dell’esistenza di un essere infinito al di fuori del pensiero.
Anche l’analisi non standard mostra che è possibile trattare rigorosamente infinitesimi e numeri infiniti all’interno di strutture numeriche che estendono i reali. Per esempio, i numeri iperreali comprendono infinitesimi non nulli e numeri maggiori, in valore assoluto, di ogni numero reale positivo. Grazie al principio di trasferimento, in questo quadro è possibile sviluppare un’analisi matematicamente coerente. Questi oggetti appartengono a una struttura definita con precisione; la loro introduzione non risolve, di per sé, una questione metafisica. Dimostra piuttosto che concetti relativi all’infinitamente piccolo e all’illimitato possono essere formalizzati in modi differenti, purché siano specificate le strutture e le regole adottate.
È a questo punto che il confronto con il realismo filosofico del compianto Ayatollah Muhammad Husayn Tabatabai, filosofo ed esegeta coranico sciita, acquista significato. Nell’orientamento realistico, la realtà non viene ridotta a una costruzione arbitraria del soggetto: conoscere significa rivolgersi a ciò che è, distinguendo la realtà conosciuta dall’atto mentale attraverso cui la si concepisce. Applicare questa prospettiva alla matematica non significa attribuire automaticamente realtà ontologica a ogni oggetto matematico, né sostenere che un teorema possa, da solo, dimostrare una tesi metafisica. Significa piuttosto interrogarsi sul rapporto tra la validità oggettiva delle strutture matematiche e la realtà che esse possono descrivere o rendere intelligibile. Una dimostrazione matematica stabilisce che una conclusione segue necessariamente da determinate definizioni, assiomi e ipotesi. La questione del fondamento ultimo di tali strutture, del loro rapporto con la realtà e dello statuto degli oggetti matematici richiede invece un’argomentazione filosofica ulteriore.
È qui che il realismo filosofico di Tabatabai conduce al cuore della tesi monoteistica: la Realtà ultima è necessariamente e assolutamente Una, indivisibile e indipendente, senza pari né equivalenti. Una realtà che dipende da altro non può essere il fondamento ultimo, poiché la sua esistenza richiede una spiegazione ulteriore; se ogni realtà dipendesse da un’altra, il regresso infinito rinvierebbe indefinitamente tale spiegazione senza raggiungere un fondamento indipendente. Dipendente e indipendente sono concetti correlativi: il primo rimanda necessariamente al secondo, così come il figlio al padre e il relativo all’assoluto. Da ciò segue che non può esservi una pluralità di realtà assolute: per essere più d’una, esse dovrebbero distinguersi in qualcosa, introducendo una determinazione o un limite incompatibile con l’assolutezza. La Realtà assoluta è dunque una, indivisibile, non duale né trina né plurima; nella prospettiva metafisica qui assunta, la sua quiddità coincide con la sua esistenza ed essa è irriducibile alle categorie concettuali con cui comprendiamo gli enti finiti. In questa conclusione si esprime il significato razionale del monoteismo islamico, che trova nella celebre sura coranica al-Ikhlāṣ (112) la sua formulazione più essenziale:
بِسْمِ اللَّهِ الرَّحْمَٰنِ الرَّحِيمِ قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ اللَّهُ الصَّمَدُ لَمْ يَلِدْ وَلَمْ يُولَدْ وَلَمْ يَكُن لَّهُ كُفُوًا أَحَدٌ
«Col Nome di Dio, il Misericordioso, il Benevolo. Di’: “Dio è davvero unico! Dio è l’Assoluto. Non ha generato e non è stato generato, e nessuno Gli è pari”»
Abbiamo visto come la riflessione matematica possa aprire la via a una ricerca sul fondamento ultimo della realtà. Lo stesso interrogativo si estende a ogni cosa: tutto può essere contemplato come traccia e segno di un’unica Realtà, persino ciò che sembra più casuale, come il fatto che io mi chiami Mostafa e non Stefano. Ogni cosa rinvia a una trama di determinazioni che, indagata fino al suo fondamento, solleva la questione dell’unica Realtà da cui tutto procede. È una prospettiva che trova un’espressione suggestiva nel Corano (41:53):
سَنُرِيهِمْ آيَاتِنَا فِي الْآفَاقِ وَفِي أَنْفُسِهِمْ حَتَّىٰ يَتَبَيَّنَ لَهُمْ أَنَّهُ الْحَقُّ
«Mostreremo loro i Nostri segni negli orizzonti e dentro loro stessi, finché non sarà loro chiaro che questa è la Verità»
Mostafa Milani Amin